作为集合大小的定义，应该满足什么样的基本要求?我们当然要尽可能地使它符合一般的关于“大小”的常识和直觉，其中有许多是要比“整体大于部分”更加要紧的。

    首先，一个集合的大小只应该取决于这个集合本身。

　　我们知道一个集合可以用多种方法来构造和表示，比如说，

　　A={小于等于2的正整数｝

　　B={1, 2｝

　　C={x2-3x+2=0的根｝

　　其实都是同一个集合，

　　D={n | n为自然数，且方程xn+yn=zn有xyz≠0的整数解｝

　　又怎么样呢?1996年英国数学家怀尔斯证明了费尔马大定理，所以集合D和上面的集合A、B、C是同一个集合，它里面有两个元素1和2。我们记得，一个集合由它所含的元素唯一决定，所以它的大小也不能取决于它被表示的方法，或者被构造的途径，它只应该取决于它本身。

　　一个集合得和自己一样大，这个没有什么好说的;

    其次，如果集合A不小于(也就是说或者大于，或者一样大)集合B，而集合B也不小于集合A，那么它们就必须是一样大的;

     如果集合A不小于集合B，而集合B又不小于集合C，那么集合A就必须不小于集合C。在数学上，我们称满足这三个条件的关系为“偏序关系”(注：严格地说，这个偏序关系并不定义在集合之间，而是定义在集合按“一样大”这个等价关系定义出的等价类之间，关于偏序关系的严格定义的叙述和上面所说的也有区别，但这些问题在这里并不要紧，你如果看不懂这个注在讲什么也不要紧)。如果一个关于集合大小的定义违反了上面所说的三条之一，这个定义的怪异程度一定会超过上面使用一一对应原则的定义!

　　举个例子，比如说我对某位科幻小说作家的喜爱程度就是一个偏序关系。如果我喜欢阿西莫夫胜于喜欢凡尔纳，而喜欢凡尔纳又胜于喜欢克拉克，那在阿西莫夫和克拉克中，我一定更喜欢阿西莫夫。不过一个偏序关系并不要求任意两个对象都能相互比较。比如说刘慈欣的水平当然不能和克拉克这样的世界级科幻大师比，但是“喜欢”是一种很个人的事情，作为一个中国人，我对中国的科幻创作更感兴趣——所以似乎不能说我更喜欢克拉克，但也不能说我更喜欢刘慈欣，而且也不能说同样喜欢，因为喜欢的地方不一样——所以更确切地也许应该说，他们俩之间不能比较。但偏序关系中存在这样的可能性，有一个对象可以和两个不能相互比较的对象中的每一个相比较，比方说我喜欢阿西莫夫胜过刘慈欣和克拉克中的任一个。